Cebir

Cebir

İçindekiler

0 TEMEL KAVRAMLAR 1

0.1 Onermeler ve Temel ¨ ˙Ispat Y¨ontemleri . . . . . . . . . .. 1

0.2 K¨ume Kavramı . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 15

0.3 Ba˘gıntılar ve Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 19

0.4 Bir K¨umenin Kardinalitesi . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26

0.5 ˙Ikili ˙I¸slemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31

0.6 Tamsayıların B¨ol¨unebilme Ozellikleri ¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

0.7 Asal Sayılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

0.8 Z de Kongr¨uens Ba˘gıntısı . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

0.9 Kompleks Sayılar . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 49

1 GRUP TEOR˙IS˙INE G˙IR˙IS¸ 55

1.1 Grup Tanımıve Elemanter Ozellikler ¨ . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.2 Altgruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.3 Perm¨utasyon Grupları . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 71

1.4 Devirli Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.5 Grup Homomorfizmaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.6 Kosetler ve Lagrange Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.7 Normal Altgruplar, B¨ol¨um Gruplarıve ˙Izomorfizma Teoremleri . . . . 104

1.8 Bir Grubun Bir K¨ume Uzerine Etkisi ¨ . .. . . . . . . . . . . 114

1.9 Grup Etkisinin Uygulamalarıve Burnside Teoremi . . . . . . . . . 122

1.10 p-Grupları, Sylow Teoremleri ve Basit Gruplar . . . . . . . . . . 128

1.11 Direkt C¸ arpım ve Sonlu Abelyan Grupların Yapısı . . . . . . . . . 140

1.12 C¸ ¨oz¨ulebilir ve Nilpotent Gruplar . . . . . .. . . . . . . . 147

2 HALKA TEOR˙IS˙INE G˙IR˙IS¸ 159

2.1 Halka Tanımıve Elemanter Ozellikler ¨ . . . . . . . . .. . . . . 159

2.2 Althalkalar ve Halka Homomorfizmaları . . . . . . . . . . . . . 170

2.3 ˙Idealler, B¨ol¨um Halkalarıve ˙Izomorfizma Teoremleri . . . . . 177

2.4 Bir Tamlık B¨olgesinin Kesirler Cismi . . . . . . . . . . . . 188

2.5 Polinom Halkaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

2.6 F[x] Polinom Halkasının Cebirsel Yapısı . . . . . .. . . . . . 206

vii

viii ˙IC¸ INDEKILER

2.7 Tamlık B¨olgelerinde C¸ arpanlara Ayırma . . . . . . . . . . . . . . 223

2.8 Tekt¨url¨u C¸arpanlara Ayırma B¨olgeleri Uzerinde Tanımlı Polinom Halkaları. 237

3 C˙IS˙IM TEOR˙IS˙INE G˙IR˙IS¸ 243

3.1 Cisim Geni¸slemeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 243

3.2 Cebirsel Cisim Geni¸slemeleri . . . . . . . . . . . . . . . . 255

3.3 Geometrik C¸izimler . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 263

3.4 ˙Izomorfizmaların Geni¸sletilmesi ve Otomorfizma Grupları . . . . . . 274

3.5 Par¸calanma Cisimleri ve Normal Geni¸slemeler . . . . . . . . . . 286

3.6 Ayrılabilir Geni¸slemeler . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 296

3.7 Sonlu Cisimler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

3.8 Galois Geni¸slemeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

3.9 Dairesel Geni¸slemeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

3.10 K¨oklerle C¸ ¨oz¨ulebilirlik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

3.11 Simetrik Fonksiyonlar ve n yinci Dereceden Genel Polinomun Galois Grubu 338

A TEK NUMARALI PROBLEMLER˙IN CEVAPLARI/ ˙IPUC¸ LARI 343